李定明

“數”與“形”是數學研究的兩大支柱，它們之間存在著既對立又統一的關系。辯證地以數表形和以形示數是探索和解決數學問題的重要途徑。忽視任何一面都將數學變得殘缺不全。“數缺形時少直觀，形少數時難入微”這正是我國數學家華羅庚對“數”與“形”的關系的最形象的概括。

“數形結合”其實質就是把數學語言與直觀圖形結合起來，既把代數中的精確刻畫與幾何圖形中的直觀描述結合起來，從而使幾何問題代數化，代數問題幾何化，進而使抽象思維與形象思維結合起來，這樣可以使許多復雜問題簡單化。如高中數學的解析幾何就是通過坐標系把“數”與“形”進行轉換，是數形結合的最成功、經典的例子。當然新課標下的“向量”也是數形結合的新“橋梁”。

我們熟知，“數形結合”作為我們解決數學問題的重要方法之一。在解決有關代數問題時，可尋找揭示內部的內體背景，啟發思維，找到解題途徑；在解決幾何問題時也可從代數的角度，通過數量關系的研究來解決問題。運用“數形結合”這個思想方法應注意那些問題呢？

一、優先考慮圖形的直觀性。

例：方程2-x+x2=3的實數解的個數為                   。

解析：如圖，在同一坐標系內分別畫出y=2-x和y=-x2+3的圖象

由圖可知，兩函數圖象有兩個交點，即方程2-x+x2=3有兩個根。

此題如果只考慮一般的代數方法求方程的方法來求是不適宜的，

甚至得不出正確的結果。

二、充分注意圖形的完備性。

應用“數形結合”解題時要養成良好的習慣，善于從圖中觀察，找出規律，尋找答案，但有些數學問題用圖形來反映時并不唯一，因此需要我們在解題時作出不同的圖形，用“數形結合”與分類討論的思想解決，以防出現解題的片面性。

例：已知A、B、C是橢圓M：    +     =1(a＞b＞0)上的三點，其中點A的坐標為（2    ，0），直線BC過橢圓M的中心，且

 ·  =0，｜｜=2｜｜。

⑴求橢圓M的方程。

⑵過點M（0，t）的直線L（斜率存在時）與橢圓M交于兩點P、Q，設D為橢圓M與y軸負半軸的交點，且｜｜=｜｜，求實數t的取值范圍。

分析：此題如果不考慮“數形結合”，只對題目本身分析很難找到解題思路，況且第⑵小節明顯還應對k作分類討論，那么分類的分界點在那，分多少類就成了關鍵，而“形”會給我們很好的回答。這就是解題的完備性。

略解：⑴｜｜=2｜｜，且直線BC過（0，0）

則｜｜=｜，又∵ ·=0，∴∠OCA=90°，

即C（，）又a=2    ，因此可設M：    +        =1，

將C點坐標代入得：

     +         =1，解得C2=8，b2=4  ∴橢圓M：    +    =1，

⑵ 由條件D（0。—2），M（0，t）

1°：當k=0時，顯然-2＜t＜2 .

2°：當k≠0時，設L：y=kx+t .由

消去y得：（1+3k2)x2+6ktx+3t2-12=0

由△＞0可得，t＜4+12k2

設P（x1,y1), Q(x2y2), PQ中點H（x0, y0)則

x0=         =          ,y0=kx0+t=         ,

∴H(-         ,        ),由｜｜=｜｜，

∴DH⊥PQ即KDH= —    ,∴(         +2)÷(—        ) =—

化簡得：t=t+3k2 ②∴t＞1,將②代入①得：1＜t＜4,∴t的范圍是（1，4），

∴綜上10、20得t∈（-2，4）。

三、適時運用數式的精確性。

“形象直觀”是“形”的優點，但這“優點”不能代替數學問題的正確答案。只在通過對“形”的分析，挖掘代數中的數量關系，把幾何問題再轉化為代數問題，結合“數”的精確運算，才能求出正解。這就是“精確性”。

例：若x∈(1, 2 )時，不等式（(x-1)2＜logα x恒成立，

則α的取值范圍為（    ）。

A.(0, 1)   B.(1, 2)  C. (1, 2)    D.(1, 2)

解析：令y1=(x-1)2, y2=logα x, α＞1, 

兩函數圖象如圖所示，顯然當x∈(1, 2 )時，

要使 y1＜y2 ， 只需使logα2≥(2-1)2 , 即α≤2，

綜上可知當1＜α≤2時，

不等式(x-1)2＜logα x對x∈(1, 2 ) 恒成立.

若0＜α＜1, 兩函數圖象如下圖所示,顯然當x∈(1, 2 )時,不等式 (x-1)2＜logαx恒不成立.

可見應選C。

四、時刻關注轉化的等價性。

“形”可揭示“數”的本質，“數”可解決“形”的精確性，應用時要注意轉化的等價性。 

例：曲線y=1+        (x∈[ -2,2 ])與直線y=k(x-2)+4有兩個公共點，k的取值范圍是（    ）

A、（0，   ）    B、（    ,    ）  C、（    ，+∞ ）   D、（     ，    ）

分析：事實上不難看出，曲線方程y=1+        (x∈[-2, 2]的圖象為x2+(y-1)2=4(-2≤x≤2, 1≤y≤3)，表示以（1，0）為圓心，2為半徑的上半圓（含半圓端點），直線y=k(x-2)+4過定點（2，4），那么斜率的范圍就清楚了。

略解：將方程y=1+        ( (x∈[-2, 2] )轉化為方程

x2+(y-1)2)=4 (-2≤x≤2, 1≤y≤3),作出對應的圖形，

如圖，又直線y=k(x-2)+4過定點（2，4）

若直線過點A（-2，1），則可求KPA=   

由圓心（0，1）到直線的距離為2，所以有2=             解得 k=     ，故選D。

五、靈活把握數與形的互動性。

解題時應根據數學問題的條件和結論等之間的內在聯系，通過研究其數字特征和幾何特征，使數量關系和空間形式有機地結合起來，從而找到解決問題的途徑和方法。

例：如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是半徑為R的圓內接四邊形，其中BD是圓的直徑，∠ABD=60°，∠BDC=45°，△ADP∽△BAD

⑴求線段PD的長；

⑵若PC=      R，求三棱錐P-ABC的體積。（2008年，廣東高考題）

分析：此題巧妙地把立體幾何與平面幾何知識結合在一起，充分體現了“數形結合”的思想方法的“互動”運用：在證明線面垂直時，即尋找證明直線PD⊥面ABCD的條件時，又要根據PD、CD、PC之間的數量關系，即由：PD2+CD2=9R2+2R2=11R2=PC2，故由勾股定理可得△PCD為Rt△pcd 從而證得PD⊥CD。

略解：⑴∵BD是圓的直徑，

∴∠BAD=90°，又△ADP∽△BAD， 

∴      =

DP=       =                      =            =3R

⑵在Rt△BCD中，CD=BD， cos45°=    R

∵PD2+CD2=9R2+2R2=11R2=PC2， ∴PD⊥CD，

又∠PDA=90°，即PD⊥AD，AD∩CD=D

∴PD⊥底面ABCD，S△ABC=   AB · BC · sin (60°+45°)

                        =   R ·    R（    ×    +     ×     ）

                        =         R2

∴三棱椎P-ABC的體積為VP-ABC —   S△ABC · PD=   ·        · R2 ·3R=       R3

“數形結合”思想方法在高中數學甚至是在高考中占有非常重要的地位.如果能隨時注意以上五點,巧妙運用數形結合的思想方法解決一些抽象的數學問題,可起到事半功倍效果.

                                      (作者單位:廣東省五華縣水寨中學)