概念是反映客觀事物本質(zhì)屬性的思維形式。數(shù)學(xué)概念，就是事物在數(shù)量關(guān)系和空間形式方面的本質(zhì)屬性，是人們通過實踐，從數(shù)學(xué)所研究的對象的許多屬性中，抽出其本質(zhì)屬性概括而形成的。它是進行數(shù)學(xué)推理、判斷的依據(jù)，是建立數(shù)學(xué)定理、法則、公式的基礎(chǔ)，也是形成數(shù)學(xué)思想方法的出發(fā)點。長期以來，由于受應(yīng)試教育的影響，不少教師在教學(xué)中重解題、輕概念，尤其忽視對核心概念的教學(xué)。由于數(shù)學(xué)概念是反映空間形式和數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)屬性，數(shù)學(xué)概念具有高度的抽象性、概括性、系統(tǒng)性等特點。所以數(shù)學(xué)概念不是學(xué)生通過簡單的記誦、記憶就能形成的，它需要借助于學(xué)生自己主動的思維思考、積極的建構(gòu)才能產(chǎn)生成型。理解數(shù)學(xué)概念就意味著去建立概念的系統(tǒng)，確定概念之間的依存關(guān)系，這就要求在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，教師應(yīng)充分展現(xiàn)其形成過程。

一、揭示概念的形成過程

波利亞曾經(jīng)說過：“概念是人腦的高級產(chǎn)物。”這也就是說，概念是認識的高級產(chǎn)物，它是在感覺、知覺和觀念諸過程綜合的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的，運用比較、分析、綜合、抽象和概括等一系列的邏輯方法來獲取概念，它已經(jīng)抓住了客觀對象的本質(zhì)屬性。因此數(shù)學(xué)中每個重要概念的產(chǎn)生歷經(jīng)了前人長期觀察、比較、分析、抽象、概括、創(chuàng)造等漫長過程，其形成過程蘊含著數(shù)學(xué)的思想方法、數(shù)學(xué)創(chuàng)造方法，展現(xiàn)數(shù)學(xué)概念形成過程的教學(xué)可使學(xué)生領(lǐng)悟形成概念的方法，鍛煉思維品質(zhì)，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，增強內(nèi)在活力。

根據(jù)數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的心理過程及特征，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)一般也分為三個階段：①引入概念，使學(xué)生感知概念，形成表象；②通過分析、抽象和概括，使學(xué)生理解和明確概念；③通過例題、習(xí)題使學(xué)生鞏固和應(yīng)用概念。細致說來，概念的形成可分為以下幾個心理活動階段，現(xiàn)以函數(shù)概念為例進行闡述。

1.觀察實例。學(xué)生觀察下列事例中，指出變量與變量的關(guān)系。

①以40米/小時速度行駛的汽車，行駛的路程s與時間t。

②用圖表給出的某水庫的存水量Q與水深h。

③某一天氣溫F與時刻t。

④某一次考試的班級學(xué)生成績m與學(xué)號n。

⑤一個數(shù)y是另一個x的平方。

2.分析共同屬性。分析各實例的屬性，并綜合出共同屬性。如上例中各實例的共同屬性有：①抽象地看成兩變量間關(guān)系②一個變量隨另一個變量變化而變化③一個變量每取定一個值，另一個變量有唯一確定的值與它對應(yīng)。

3.抽象出本質(zhì)屬性。經(jīng)過猜想、假設(shè)等過程，最后得到一個變量，每確定一個值，另一個變量也唯一確定一個值與之對應(yīng)，這是本質(zhì)屬性。

4.比較正反實例，確認本質(zhì)屬性。如例④中反過來n未必是m的函數(shù)；例⑤中開平方x=+也不是函數(shù)，強化本質(zhì)屬性，排除非本質(zhì)屬性。

5.概括出概念含義，把抽象出的本質(zhì)屬性推廣到同類事物，給出名稱。這時還需要進一步區(qū)分各種本質(zhì)屬性的從屬關(guān)系，找出關(guān)鍵的本質(zhì)屬性下定義。

6.形式化。用習(xí)慣的形式符號表示，這是數(shù)學(xué)抽象的特征，是數(shù)學(xué)簡潔，通用發(fā)展的原因之一。如這里給出函數(shù)符號f(x)，注意符號語言的意義、應(yīng)用。

7.具體應(yīng)用概念。從具體到抽象，再回到具體的運用，在運用中自覺的把概念納入相應(yīng)體系。以學(xué)生的直接經(jīng)驗為基礎(chǔ)，在教師指導(dǎo)下發(fā)現(xiàn)概念的本質(zhì)屬性，對學(xué)生的心理水平要求不高，但比較費時，適用于刺激強度大，具有典型性、新穎性的實例。

在提示概念形成的過程中，要特別注意數(shù)學(xué)的直觀性、直覺發(fā)展和學(xué)生心理可接受性、適應(yīng)性和最佳發(fā)展區(qū)。

二、揭示概念的同化過程

數(shù)學(xué)概念同化的學(xué)習(xí)過程一般是指直接揭示數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性，通過對數(shù)學(xué)概念的分類和比較，建立與原有任知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)數(shù)學(xué)概念聯(lián)系，明確新的數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延，再通過實例的辨認，將新數(shù)學(xué)概念與原有認知結(jié)構(gòu)中的某數(shù)學(xué)概念區(qū)別，將新的數(shù)學(xué)概念納入相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念系統(tǒng)中，從而完善原有的認知結(jié)構(gòu)。現(xiàn)以“一元二次方程”概念教學(xué)為例，提示其同化過程。

1．觀察概念的定義、名稱和符號，揭示概念的本質(zhì)屬性。例如學(xué)習(xí)“一元二次方程”這個概念，首先觀察它的定義——含有一個未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程。它的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0),其本質(zhì)屬性有：含有一個未知數(shù)，未知數(shù)最高次數(shù)為二次，是整式方程。

2.對概念進行分類，討論各種特殊情況，進一步突出概念的本質(zhì)屬性。例如：可討論：“一元二次方程”各種特例：

簡化的一元二次方程x2+px+q=0；不完全的一元二次方程ax2+c=0(a≠0)；ax2+bx=0(a≠0)；ax2=0(a≠0)。

3.把新概念系統(tǒng)化，把新概念同化到原認知結(jié)構(gòu)中去。如上例，學(xué)生把一元二次方程同化到原有關(guān)于方程的認知結(jié)構(gòu)之中，區(qū)分一元二次方程與方程，一元一次方程，分式方程，整式方程等概念，并形成一個關(guān)于方程概念的系統(tǒng)。

4.辯證、比較正反實例，確認新概念的本質(zhì)屬性，使新概念與原有關(guān)概念精確化。如讓學(xué)生辯認x2-5x+6=0,4y2=5,3x2=18,x2+6x+7=0,ay2+7y-9=0等，并比較正反實例。

概念同化的學(xué)習(xí)過程，以學(xué)生間接經(jīng)驗為基礎(chǔ)，要求學(xué)生具備較豐富的知識經(jīng)驗，并具有積極思維能力和較高的心理活動水平，但比較省時。

三、重視概念的建構(gòu)過程

數(shù)學(xué)概念的掌握不只是簡單地記住文本定義，而是要形成與概念直接聯(lián)系的“整體性”的認知結(jié)構(gòu)，包括相應(yīng)的心智圖像、對概念性質(zhì)的辨認、對直觀操作過程的識記、相應(yīng)的范例再現(xiàn)等。這些就是被稱之為數(shù)學(xué)概念的心理表征。因此，無論是概念的形成還是概念的同化，數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)實質(zhì)上就是讓學(xué)生形成一個關(guān)于數(shù)學(xué)概念本身的、豐富多樣的心理表征。現(xiàn)以“直線的傾斜角與斜率”一節(jié)教學(xué)為例。

1．闡述實際意義，建立概念。黑板上畫兩個邊長差別很大的正方形，請學(xué)生用一三角板畫出它們的對角線（其中一個正方形的對角線長度小于三角板的邊長，另一個正方形的對角線長度大于三角板的邊長），小正方形的對角線容易畫出，但大正方形的對角線卻使 學(xué)生陷入困境，讓學(xué)生自己去選擇方法和探索認證，思考畫直線的理論依據(jù)除兩點確定一條直線外，還有由點與方向確定一定直線，這樣便自然產(chǎn)生了“直線的傾斜角”的概念，進而反思，討論用角和數(shù)進行運算的不便后，建立起斜率的概念

2.揭示本質(zhì)，理解概念。引進斜率概念后，針對關(guān)鍵詞進行分析，學(xué)生思考之余提出：“討論繞點（2，3）按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周的直線斜率變化情況如何？通過畫圖，利用運動的觀點解決問題，從而進一步認識了傾斜角和斜率的概念的聯(lián)系與區(qū)別及它們?nèi)≈捣秶�和變化趨勢，通過建構(gòu)活動，同化或順應(yīng)于學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)。

3.深入分析比較，深化概念。斜率和傾斜角納入原有認知結(jié)構(gòu)后，提出問題：過點P(1,1),Q(2,3)的直線的傾斜角與斜率各是多少？鼓勵學(xué)生探索、創(chuàng)造建立兩個新的“解析成果”與最基本“解析成果”――點的坐標(biāo)的關(guān)系，討論、概括學(xué)生的思路，畫出如下關(guān)系圖：

直線上兩點坐標(biāo)——————直線斜率

正切值的坐標(biāo)表示——————直線傾斜角

如此則形成了斜率坐標(biāo)公式的推導(dǎo)思路，通過重建充實了原認識結(jié)構(gòu)。

4.加強應(yīng)用，鞏固概念。選擇典型的循序漸進的題組進行鞏固，建立起相應(yīng)的應(yīng)用模式。如：

①直線過點（1，4），（3+1，1）其傾斜角和斜率各是多少？

②已知直線過點P（3，4），Q（-2-m,-m+5）,當(dāng)m為何值時，直線與x軸平行？當(dāng)m為何值時，直線與y軸平行？當(dāng)m為何值時，其傾斜角為3π/4？

③已知點M（-4,7),N(2,15)若直線1傾斜角是直線MN的傾斜角的一半，則1的斜率為多少？

這樣學(xué)生在問題激發(fā)下主動建構(gòu)，從形成概念、掌握本質(zhì)，直至融概念于原認知結(jié)構(gòu)中，建立起新的認知結(jié)構(gòu)，相對獨立地完成數(shù)學(xué)建構(gòu)活動，達到概念理解深刻、全面。

四、組織概念的系統(tǒng)化、整體化的過程。

數(shù)學(xué)中許多概念的理解和掌握不是一次可以完成的，教師應(yīng)有計劃地使學(xué)生不斷豐富和加深理解，可以通過單元復(fù)習(xí)、階段復(fù)習(xí)，甚至是垮學(xué)年總結(jié)的方式使所學(xué)的有關(guān)概念系統(tǒng)化和整體化。

例如關(guān)于“角”的概念的整體化與系統(tǒng)化：

⑴平面角：①一點出發(fā)的兩條射線所組成的圖形（靜態(tài)定義）②以一條射線的端點為頂點旋轉(zhuǎn)所形成的圖形，逆時針旋轉(zhuǎn)為正角，順時針為負角，不作旋轉(zhuǎn)為零角。

⑵異面直線所成的角：在空間任意取一點，分別引兩條異面直線的平行線所成的銳角或直角，叫做兩條異面直線的所成的角。

⑶直線與平面所成的角。若直線在平面內(nèi)或與平面平行，則所成角為00；若直線與平面垂直，則所成的角為900；平面內(nèi)一條斜線和它在平面內(nèi)射影所成的銳角，叫做這條斜線和這個平面所成的角。

⑷二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角，叫二面角的平面角。

要對角的概念形成一個良好的認知結(jié)構(gòu)，還需要進一步抽象與概括出都是在“平面角”基礎(chǔ)上發(fā)展與推廣；反之，空間角又都是轉(zhuǎn)化為“平面角”來表示。這樣建立起穩(wěn)固的認知結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)思想方法和解題模式。

再如從點與點、點與面、點與線、線與線（包括平行、異面）線與面、面與面的六種距離中，概括出整體的屬性——最短性。從絕對值到復(fù)數(shù)的模，再到范數(shù)、測度，才能整體上把握絕對值符號概念。函數(shù)的概念在初中不可能深刻理解，通過高中學(xué)習(xí)，才能很好的掌握和運用，形成函數(shù)思想，有的直至大學(xué)才形成函數(shù)觀點和用函數(shù)的意識。

在教學(xué)過程中還應(yīng)注意大概念與小概念的關(guān)系，例如函數(shù)利用它具有不同的特征，可以分成單調(diào)遞增函數(shù)、單調(diào)遞減函數(shù)，奇函數(shù)、偶函數(shù)，有界函數(shù)，周期函數(shù)。周期函數(shù)還可以分成有最小正周期和沒有最小正周其函數(shù)。而函數(shù)的奇偶性還有既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)。

數(shù)學(xué)概念系統(tǒng)是一種多層次的復(fù)雜結(jié)構(gòu)。因此，理解和掌握數(shù)學(xué)概念應(yīng)循序漸進，由簡單到復(fù)雜、具體到抽象、低級到高級的認識順序。一個新概念的建立要依靠哪些舊概念，這個概念在教材中是怎樣發(fā)展的，將要如何發(fā)展下去，這個概念的理解分為幾個層次……教師要清楚地了解這些問題，以便把握它在各個教學(xué)階段的深度與廣度。

學(xué)生獲得數(shù)學(xué)概念，一方面依賴于已有的知識基礎(chǔ)，另一方面也依賴于一定的數(shù)學(xué)思維能力，特別是分析綜合、抽象概括、分類比較、形式化、具體化等方面的能力。因此，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)一方面使學(xué)生認識概念的由來和發(fā)展，掌握概念的內(nèi)涵、外延及其表達形式，和諧統(tǒng)一地認識概念所包括的名稱（符號）、定義、例子四個方面。了解概念之間的關(guān)系，會對概念進行分類，從而形成一定的概念體系，會正確運用概念。另一方面學(xué)生獲得數(shù)學(xué)概念的思維活動過程是主動建構(gòu)過程。所以數(shù)學(xué)概念的教學(xué)應(yīng)充分展現(xiàn)其過程性，在過程教學(xué)中，學(xué)生歷經(jīng)了知識的發(fā)生、發(fā)展的過程；重視前人的創(chuàng)造過程；歷經(jīng)歸納、假設(shè)、猜想、驗證歷程；體驗了數(shù)學(xué)的觀察、分析、綜合、類比、演繹歸納、抽象概括等數(shù)學(xué)思想方法，使學(xué)生積極參與獲得概念的智力和非智力活動，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，是教學(xué)的良好素材與契機。

總之，在概念教學(xué)中要根據(jù)新課標(biāo)對概念的具體要求，要創(chuàng)造性的使用教材，優(yōu)化概念教學(xué)設(shè)計，把握概念教學(xué)過程，真正使學(xué)生在參與的過程中產(chǎn)生內(nèi)心的體驗和創(chuàng)造，以達到認識數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的目的。

（浙江建德嚴(yán)州中學(xué)梅城校區(qū)  洪東潮）