新課程下數學概念的教學策略

 

貴州省仁懷市第一中學   胡繼龍 

 

 

   數學概念是反映數學對象的本質屬性和特征的思維形式，數學公式，定理和數學方法都反映了數學概念和對象間的關系，可見，數學的學習其實就是數學概念的學習，可以說，數學概念是學好數學的基礎，另外，深入的理解數學概念，會使學生的抽象思維能力得到鍛煉， 在新課程標準中，對概念的教學提出了更高的要求，要求學生會解釋概念，會舉例印證概念，會從實際問題中抽象出概念，因此教師在教學中要改變傳統的概念教學方式，多研究數學概念的教學方法。中學數學里有各種各樣的數學概念，由于概念的內容和它在數學中的地位不同，概念也就有簡單和易學之分，有的概念在整個高中數學中起主導作用，有的概念不是關鍵性的，因此教學要分清主次，抓住重點，理清關系。下面探討有關概念的教學策略。

一 在學習一個新的數學概念時，要注意概念的引入問題

  數學概念的產生方式是多種多樣的，有的是為解決實際問題而引入的，有的是在原有的概念的基礎上產生的，因此學生學習數學概念的途徑也是多種多樣的。但無論數學概念的產生過程如何，任何一個數學概念都有自身的具體內容，在高中數學課程中，很多的數學概念都有其現實模型，對于這樣的一些現實模型，學生并不陌生，因此在概念的教學中，要注意概念產生的具體途徑，產生的背景，注重概念的形成過程，使數學概念的學習顯得自然而非強加于人。

  案例：向量概念的引入

  向量是高中數學的核心概念之一，向量概念是學好平面向量的基礎，在教學中，要在概念的引入上注意概念產生的實際背景，呈現的例子要適當，要和學生已有的知識經驗相聯系。教學時，除了教材上的例子以外，可以多補充一些例子。例如，可以補充如下實例：

  實例1：在一座小島上，如何確定一艘正在海上航行的輪船的位置？需要些什么條件？

  實例2：用5N的力沿水平方向可以拉動一個水平放置的物體，試問如果用沿水平方向成30°大小為5N的力是否能拉動物體？你能否標出物體受到的重力的方向?

  通過這兩個實例，學生了解在現實中存在既有大小又有方向的量，在學生感性認識的基礎上，可以進一步設置如下的問題：

  問題1：請舉出一些具有大小又有方向的量？

  問題2：只有大小沒有方向的量存在嗎？只有方向而沒有大小的量存在嗎？請舉例說明。

  通過這樣的思考，學生對向量的概念就有了初步的認識，接著，再給出向量的概念也就水到渠成了。在概念的教學中，具體事例的數量不能太少，否則學生對概念的感知不充分，對掌握概念所必須的經驗不能建立起來，就難以對概念對象的各種要素進行全面鑒別。上面的案例中恰到好處的呈現出教材上沒有的事例，再配合教材上的例子，學生應該容易習得向量的概念。

  二、教學時注意概念的內涵和外延

  概念的內涵指的是概念所反映對象的本質特征；概念的外延指的是概念所反映的本質屬性的對象，概念的內涵是質的方面，概念的外延是概念量的方面，它說明概念所反映的事物有哪些。概念的內涵和外延是對立統一的，內涵明確，則外延清晰；外延清晰則內涵明確。例如在新課程必修4的角的概念的推廣的教學中，角的概念的內涵是平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形，外延就是角的分類：正角，負角和零角。在教學中，可以通過變式來明確概念的外延。

  教學案例：函數奇偶性的教學（人教A版）

  函數的奇偶性是必修1的內容，是函數單調性之后很重要的一個性質。在教材中，通過具體的函數得到了偶函數的概念，

由，得到了奇函數的概念。教材中通過例5讓學生判斷函數的奇偶性，筆者認為，通過這樣的習題還沒有真正明確函數奇偶性這個概念的外延。可以通過如下的實際例子來補充完成：

例：判斷下列函數的奇偶性：

   （1）    （2）

   （3）        （4）

    其中（1）和（2）是讓學生首先判斷函數的定義域是否關于原點對稱，這是判斷函數奇偶性的前提條件，但有的學生會直接套用或這說明學生沒有真正理解函數奇偶性的定義，這時教師可以讓學生通過作函數的圖像來觀察圖像是否關于軸對稱或關于原點對稱，進而得出定義域關于原點對稱是判斷函數奇偶性的前提條件，第（3）題是讓學生明白常數函數也具有奇偶性，在教學中可以把 改為，再讓學生判斷，給出第（4）題的目的是讓學生清楚分段函數也可能具有奇偶性。在這個案例中，通過可能出現的各種情況讓學生明白了函數奇偶性這個概念的內涵。總之，概念的教學是一個復雜的過程，盡量從各個方面呈現概念的外延，外延清楚則內涵就明確了。

    三、在概念的教學中，注重培養學生的數學語言表達能力

    長期以來，學生認為多做題，就能學好數學，教師認為多講一些考試題型，學生的成績就會提高，在新課程理念中，學生的學習方式由原來的被動，接受式學習變為自主探究，合作交流，這對學生的交流能力提出了更高的要求，如何讓學生正確的表達自己的思想，這是一個長期的過程，實踐證明，學生在學習中，積極主動思考，善于發表不同的意見，其數學成績也很好，因此，教師要多培養學生的語言表達能力。在數學概念的教學中，學生能否用自己的語言敘述概念，解釋概念所揭示的本質屬性，這是學生是否掌握好數學概念的標志。所以語言表達是概念學習過程中一個重要的環節。例如在函數的單調性的教學中，為了訓練學生的語言表達能力，要求學生用自己的語言描述函數單調性的概念，并根據你的敘述總結出判斷函數單調性的操作步驟。

    又如，在函數奇偶性的教學設計中，筆者從開始的引入起就注意訓練學生的語言表達能力。

    （1）：通過觀察函數的圖像，你能發現什么？你能否根據函數的解析式用自己的語言來描述圖像關于軸對稱的特征？

  學生通過圖像或者通過完成教材中的函數值對應表，總結出：自變量互為相反數，相應的函數值相等這樣的結論。教學中，教師千萬不要包辦代替，讓學生說出來效果會更好。通過這樣的鋪墊，在學習奇函數的概念時，學生很容易得出：自變量互為相反數，函數值也互為相反數。有了（1）的基礎，接下來是將學生總結的結論符號化。

（２）你能否用數學符號來表示你所發現的結論？

在概念的教學上，這是一個關鍵的過程，也是比較困難的一件事情，但還是要讓學生自己完成從文字語言的敘述到用數學符號表示的過程，為了加強效果，可以讓學生不要看教材，自己獨立思考。

筆者在教學中得到了學生的幾種不同的表達方式：

① ：如果對于函數Y=f(x)的定義域內任意一個，都有那么函數就叫做偶函數。如果對于函數Y=f(x)的定義域內任意一個，都有，那么函數就叫做奇函數。

② ：如果對于函數Y=f(x)的定義域內任意一個，都有

那么函數就叫做偶函數。如果對于函數Y=f(x)的定義域內任意一個，都有,那么函數就叫做奇函數。

   應當注意的是②中，還有一種就是教材中的敘述方式。在這里學生的創造性得到了發揮，語言表達能力也得到了訓練。

   總之，數學概念的教學方式是很多的，這里不再一一的闡述，概念是數學的靈魂，中國科學院數學與系統科學研究院研究員李邦河院士認為數學根本上是玩概念的，不是玩技巧．技巧不足道也！因此在數學教學中，要強化基本概念和基本思想的教學，把一些核心的概念貫穿到高中數學教學的全過程中來，認真研究教學方法，提高概念的教學水平。

       （本文獲“全國中小學素質教育創新與實踐” 二等獎）