中學數學創新思維能力的培養

          中央民族大學附屬中學     廖海峰

    【內容提要】

創新始于問題，在中學數學教學過程中實施創新教育，要遵偱發現數學問題的規律，引導學生運用歸納猜想、類比猜想和逆向思維等思維方式來發現數學問題，從而執著地探索解決問題，使學生感受到創新過程帶來的“快樂”體驗，進一步地激勵學生再發現和再創造，形成一種良性機制，對學生的教育意義極其重大。

    【主題詞】

數學創新教育  發現問題   歸納猜想  類比猜想  逆向思維

     【正文】

    “創新”一詞就是創立或創造新的東西的意思，創新教育就是指培養人的創新精神和創新能力的教育，是指通過對學生施以教育和影響，以扎實的基礎知識、熟練的基本技能和一定的思維能力為基礎，使他們能夠發現和認識有意義的新知識、新思想、新事物、新方法。中學數學教學中實施創新教育，就是根據學生的具體情況及數學知識本身的內在規律，通過數學教學活動，使他們具有發現并解決數學問題的能力。

二十一世紀人才的培養是創新人才的培養，而創新人才的培養離不開創新教育。隨著社會的發展，作為素質教育重要內容的“創新教育”已成為人們關注的熱點。在數學教學中重視創新教育，培養學生的創新思維能力是時代對數學教育提出的新要求。在新課程的標準下中學數學教學中如何培養中學生的創新能力，這是我們教師所面臨的一個新的挑戰。

創新始于問題，愛因斯坦強調：“發現問題和系統闡述問題可能要比得到解答更為重要，解答可能僅僅是數學或實驗技能問題。”所以在中學數學教學過程中實施創新教育，首先是要創建恰當的情境，引導學生發現問題、提出問題，然后才是讓學生主動地分析、解決問題。根據數學學科的特點，問題的發現是有規律可偱的。在中學階段可運用歸納猜想、類比猜想和逆向思維等思維方式來發現數學問題。

下面用一個案例來談談在實際中學數學教學過程中，如何引導學生運用類比猜想、歸納猜想和逆向思維來發現問題，培養學生數學創新思維能力。這個案例是從類比猜想提出問題開始，到最后問題的解決經歷了近兩年的時間，經歷了非常曲折的過程。

我在高一給學生復習反比例函數時，學生在初中就知道其圖像為雙曲線，有兩條漸近線。后來講到函數時，其圖像形狀與雙曲線相似，也有兩條漸近線，于是就引導學生運用類比猜想，提出這樣的問題：函數的圖像是否雙曲線？由于高一的學生還沒有學習圓錐曲線，所以我告訴學生，要等到高二系統學習了雙曲線后才能解決這個問題，于是就將這個問題暫時擱置下來。

等到在高二給學生講雙曲線時，利用雙曲線的性質，找到雙曲線的對稱軸，從而找到雙曲線的焦點，設雙曲線上的任意動點，可證明動點滿足：，符合雙曲線的定義，也就說明函數的圖像為雙曲線。學生自然地也試圖運用雙曲線的定義來證明函數的圖像也是雙曲線，但是有很大的困難，因為不好確定雙曲線的焦點坐標，所以利用雙曲線的定義來證明函數的圖像是雙曲線沒有成功。

觀察函數的圖像易知：過圖像上任意點分別作兩漸近線的平行線，兩平行線分別與兩漸近線交于兩點，四邊形的面積為定值。

后來通過《幾何畫板》研究雙曲線時，也得到雙曲線也有相同的性質：過雙曲線上任意點分別作兩漸近線的平行線，兩平行線分別與兩漸近線交于兩點，四邊形的面積為定值。

學生很自然地運用歸納猜想，得到雙曲線有如下性質：過雙曲線上任意一點分別作漸近線的平行線，與兩漸近線的交點為，則平行四邊形的面積為定值。學生通過證明，發現這個定值為。

學生運用逆向思維，大膽地提出了這樣一個問題：過動點分別作兩直線的平行線，與這兩直線分別交于兩點，若平行四邊形的面積為定值，動點的軌跡是否為雙曲線？

對于學生提出的這個問題，我馬上給予了肯定，這個問題同時也引起了同學們的極大的興趣。學生運用剛學的解析幾何中曲線與方程的思想，發現只要求出了動點的軌跡方程，就能解決這個問題。學生運用所學的軌跡方程的求法，求動點的軌跡方程：

已知直線，，，

聯立得點，

，

點到直線的距離為，

所以四邊形的面積

，

而，所以有，

從而得到動點的方程為，表明動點軌跡為互為共軛的雙曲線，以上結論表明：我們可以從另一個角度來定義雙曲線。

最后讓我沒有想到的是，學生將高一沒有解決的問題，又重新提了出來：函數的圖像是否雙曲線？并根據以上的結論，并提出可以運用以上結論來證明函數的圖像是雙曲線：要證函數的圖像是雙曲線，即證如圖所示平行四邊形的面積為定值即可。學生證明如下：

令，所以，得到平行四邊形的面積，因此證明了函數的圖像是雙曲線，同理易證函數的圖像也是雙曲線，且與函數的圖像是互為共軛的雙曲線。

通過以上問題的解決過程，使我感觸很深，學生從類比猜想得到的問題開始，在歷時近兩年的時間內，一直保持著強烈的“好奇”與“質疑”，在執著地探索問題的解決，從而激發了學生一連串的思考，引起學生強烈的探索欲望，最終解決了提出的問題，這實際上就是一次完整創新體驗活動。而這種創新體驗活動，給學生帶來了“快樂”的體驗，進一步地激勵學生再發現和再創造，形成一種良性機制，對學生的教育意義是極其重大的。

問題是思維的動力，是創新精神的基石。培養創新精神，應始于問題意識。然而問題意識不是天生的，它也需要培養和激發。所以在數學教育中實施素質教育，就是要對學生進行創新教育，要引導學生學會運用歸納猜想、類比猜想和逆向思維等思維方式來發現數學問題，從而引起學生執著地探索解決問題，可以讓學生體會到發現的樂趣，從而激勵再發現和再創新，在數學領域培養更多的創新型人才。

   【參考文獻】

青島大學師范學院學報《強化問題意識，培養創新人才》作者：李明蘭