從鳥籠故事說開去

           江蘇海安城東鎮(zhèn)新生初級中學(xué)  吳光蘊(yùn)

某日A君和B君打賭。A對B說：“如果我送給你一只精美的鳥籠，請你掛在客廳之中，那么你一定會買一只小鳥。”B君心想，買不買鳥得由我作主，于是爽快地同意了打賭，并約定不將打賭之事告知他人。第二天，A君果然買了一只非常漂亮的鳥籠送給B君，B君也真的將鳥籠掛在自家客廳的顯眼之處。打賭結(jié)果如何？B君居然輸給了A君。原來，自從B君家掛上鳥籠之后，來往賓客無一不向B君發(fā)問：“你的鳥什么時候死了？”B君立即回答：“我從未買過鳥。”“那么你掛這么高貴的鳥籠干什么？”客人愈加追問，B君每每語塞，而又不能透露打賭的秘密。后來，B君還是決定去買只小鳥放進(jìn)籠中，因?yàn)樗�覺得這樣做比反復(fù)向別人解釋為什么空掛鳥籠要簡單得多，而且向A君認(rèn)輸?shù)男那橐脖葎e人背后懷疑自己頭腦不正常要平順一些。

很明顯，人總是在自己的頭腦中掛上“鳥籠”，認(rèn)為籠中

必然要有一只小鳥。

在作鈍角△ABC的AB邊上的高，由于受生活中的

垂直影響，學(xué)生往往作成圖1的情況。

這些都是思維定勢效應(yīng)。創(chuàng)新，就得克服思維定勢。如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新思維能力，以下是幾點(diǎn)想法：

一、創(chuàng)造性教學(xué)的條件

（一）創(chuàng)造性教學(xué)的主客體

在以創(chuàng)新為魂的創(chuàng)新教育體系中，教師是最重要的主體因素，在實(shí)施創(chuàng)新教育的教學(xué)活動中，教師具有開啟創(chuàng)造力的主導(dǎo)作用，是學(xué)生學(xué)習(xí)伙伴和引導(dǎo)者，必須具備很強(qiáng)的服務(wù)意識；學(xué)生是客體因素，是教師培養(yǎng)和教育的對象，但客體并不等于客觀的“物體”，任意由主體塑造成什么樣子就是什么樣子，他們也具有能動性。主客體要以“對話”為基礎(chǔ)，積極參與學(xué)習(xí)，使學(xué)生成為學(xué)習(xí)上的主人。

（二）創(chuàng)造性教學(xué)的環(huán)境

中國有句成語“近朱者赤，近墨者黑”，說的是環(huán)境對人成長的作用，大量的研究表明，良好的環(huán)境對學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)有重要的影響。人的思維活動不是憑空產(chǎn)生的，必須借助于某種環(huán)境因素的刺激作用。教師在教學(xué)過程中所創(chuàng)設(shè)的情境，正是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行創(chuàng)造性思維活動的重要條件。

1、回歸話語權(quán)

新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)，教師是學(xué)生學(xué)習(xí)的合作者、引導(dǎo)者和參與者，應(yīng)由居高臨下的權(quán)威轉(zhuǎn)向“平等中的首席”，把話語權(quán)交給學(xué)生，而且是大多數(shù)學(xué)生。因?yàn)椋瑥男睦韺W(xué)角度說：渴望被肯定是人的本質(zhì)中最殷切的要求之一。讓學(xué)生暢所欲言，感受到被尊重的愉悅，心理上會感到安全，認(rèn)為自己是學(xué)習(xí)的主人，就會各抒己見。對學(xué)生提出的疑問，應(yīng)答的問題，發(fā)表的意見，只要有點(diǎn)道理，教師都要給予肯定。海德格爾在《人，詩意地安居》寫道：語言是人口開出的花果。學(xué)生的話是天籟之音。

2、找回自信心

學(xué)習(xí)上學(xué)生不知道答案的很少，大多數(shù)學(xué)生或多或少都知道一點(diǎn)，只是怕說不好，被同學(xué)、老師笑話，才不敢發(fā)言，教師要鼓勵學(xué)生發(fā)表自己的見解，鼓勵學(xué)生“相信老師，但我更相信自己”。

3、留思考余地

課堂上大多數(shù)學(xué)生很少有發(fā)言的機(jī)會，僅有的機(jī)會也往往被幾個“優(yōu)等生”所“壟斷”，因此，在教學(xué)過程中，教師應(yīng)給學(xué)生思考的時間。如果學(xué)生思維活動和思維結(jié)果越出了教師設(shè)計(jì)和所期望的軌道，教師不要強(qiáng)行扭轉(zhuǎn)，更不應(yīng)訓(xùn)斥、諷刺，而是給予糾正，讓學(xué)生自己學(xué)會自我批判。如：在上人教版七下9.1《不等式》時，教師請學(xué)生自編一題不等式，并列式。

學(xué)生：我有3支筆。

教師：這是不等式嗎？

學(xué)生：是。3>0.

教師：為什么要與0比較？

學(xué)生：因?yàn)樗麤]有筆，沒有可以表示為0.

教師：那他有3支筆（讓學(xué)生思考），4支筆……（讓學(xué)生思考）（學(xué)生能總結(jié)讓學(xué)生說，不能總結(jié)則教師總結(jié)）

教師：不等式、等式考慮的是量與量之間的關(guān)系，所以“我有3支筆”列不等式是少條件的。

4、發(fā)揮主動性

培養(yǎng)創(chuàng)新能力必須充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。當(dāng)前相當(dāng)多的學(xué)生在學(xué)習(xí)方法上強(qiáng)調(diào)死記硬背，忽視消化理解。在教學(xué)中，教師應(yīng)準(zhǔn)備一些有關(guān)的，具有趣味性、探索性、研究性、創(chuàng)造性的習(xí)題，以激發(fā)學(xué)生的求知欲望，改以往教師唱獨(dú)角戲?yàn)閹熒�之間的多向交流。教師還應(yīng)利用初中學(xué)生的生理、心理特點(diǎn)，即處于青春期的學(xué)生都希望自己有所表現(xiàn)，比別人高明，見解“獨(dú)特”，易爭先搶答，讓學(xué)生的積極性、深思求異性得到充分的調(diào)動。

二、創(chuàng)造性思維教學(xué)

創(chuàng)造性思維的主要特征是開放性、求異性、非顯而易見性。在平時的教學(xué)中，以課本為本，充分挖掘教材中的創(chuàng)造性思維教學(xué)的素材，不失時機(jī)地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力。

1、聯(lián)想、想象與構(gòu)造

愛因斯坦曾說過：“想象力比知識更重要，因?yàn)橹�識是有限的，而想象力概括著世界上的一切，推動著進(jìn)步，并且是知識進(jìn)化的源泉。”教材中有不少通過聯(lián)想、想象和構(gòu)造，找到比較巧妙解決問題的方法，不是刻板的，而是具有很強(qiáng)的靈活性和創(chuàng)造性。如：如圖2，∠AOB=450，其內(nèi)部有一點(diǎn)P，OP=8，在∠AOB的兩邊上分別有點(diǎn)Q、R（不同于點(diǎn)O），則△PQR的周長的最小值為        

聯(lián)想：把△PQR的三邊放在一條直線上，利用兩點(diǎn)之間線段最短。

想象：利用學(xué)生熟悉的題目為背景（如圖3，在直線m上找一點(diǎn)P，使P到A、B兩點(diǎn)的距離和最小，即作點(diǎn)A關(guān)于直線m的對稱點(diǎn)A1，A1B與直線m的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)），想到作對稱點(diǎn)。

構(gòu)造：如圖4，分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對稱點(diǎn)C、D，連CD，與OA交于點(diǎn)Q，與OB交于點(diǎn)R.

分析：如圖4，利用對稱性可得OA是PC的中垂線，從而可得PQ=CQ，OC=OP=8，

∠COA=∠AOP，同理PR=DR，OD=OP=8，∠DOB=∠BOP，所以△PQR的周長=PQ+QR+DR=CD， 易證∠COD=900，在Rt△COD中，由勾股定理得，CD=，即△PQR的周長的最小值為.

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，仔細(xì)觀察，充分展開聯(lián)想的翅膀，極大程度地提供想象空間，大膽構(gòu)造新的對象，對探索未知問題開辟新的途徑，有助于激發(fā)興趣、良好思維習(xí)慣培養(yǎng)、創(chuàng)造性思維能力的開發(fā)，進(jìn)而獲得一種更有力度、充滿張力的數(shù)學(xué)思考以及觸及心靈的精神愉悅，從而達(dá)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的真正目的。

2、發(fā)散性思維

發(fā)散思維具有靈活性，對推廣問題，引申知識，發(fā)現(xiàn)新方法等具有獨(dú)特的作用。

（1）一題多解

     一題多解有利于開拓學(xué)生的思路。如：如圖5，在△ABC中，∠ABC=450，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E點(diǎn)，與CD相交于點(diǎn)F，H是BC邊的中點(diǎn)，連DH與BE相交于點(diǎn)G，猜想CE與BG的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論。

學(xué)生1：由∠ABC=450，CD⊥AB知△BDC是等腰直角三角形，

又H是BC邊的中點(diǎn)，得DH是BC的中垂線，所以連CG，

根據(jù)中垂線的性質(zhì)：中垂線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等

知BG=CG。所以在Rt△CGE中易得CE<CG.因此，CE<BG.

學(xué)生2：本題易證△ACD≌△FBD，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，要比較CE與BG的大小，所以取BF的中點(diǎn)M，由，AC=BF，可得BM=CE，所以只要比較BM與BG的大小，就可完成CE與BG的大小比較。

學(xué)生3：本題易證△ACD≌△FBD，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，AD=DF=DG，所以可連AG，可證得AG=BG，再在Rt△AGE比較AE與AG的大小，最后也可說明CE<BG.

由于它具有靈活性，對于同一道題，引導(dǎo)學(xué)生從多角度、多途徑去分析、思考，從而尋找多種方法求解，可使學(xué)生對問題有更深層次的理解。

（2）一題多變

在完成一個數(shù)學(xué)題的解答時，有必要對該題的內(nèi)容、形式、條件、結(jié)論做進(jìn)一步探討，以真正掌握該題所反映的問題的實(shí)質(zhì)。如果能對一個普通的數(shù)學(xué)題從不同角度進(jìn)行變式，在變化中分析、思考，從而達(dá)到將知識學(xué)活、學(xué)會學(xué)習(xí)的目的。如：已知函數(shù)y=(3-k)x-2k+18是一次函數(shù)，求k的取值范圍。

設(shè)計(jì)意圖：考查一次函數(shù)的定義：y=kx+b中k≠0.

變式一：k為何值時，一次函數(shù)y=(3-k)x-2k+18的圖象經(jīng)過原點(diǎn)；

設(shè)計(jì)意圖：考查點(diǎn)與圖象和點(diǎn)的坐標(biāo)與函數(shù)解析式之間的對應(yīng)關(guān)系：圖象過原點(diǎn)等價于 x =0, y=0滿足y=(3-k)x-2k+18．   

變式二：k為何值時，一次函數(shù)y=(3-k)x-2k+18的圖象與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方。

設(shè)計(jì)意圖：考查一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸的交點(diǎn)問題，并能將文字語言翻譯成數(shù)學(xué)語言：與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方表示交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即-2k+18（一般式中的b）大于0．

變式三：k為何值時, 一次函數(shù)y=(3-k)x-2k+18y隨x的增大而減小(或：（a,b）(m,n)均在一次函數(shù)y=(3-k)x-2k+18圖象上，且a<m,b>n,求k的取值范圍)。

設(shè)計(jì)意圖：考查一次函數(shù)的性質(zhì)。

變式四：k為何值時，一次函數(shù)y=(3-k)x-2k+18圖象經(jīng)過一、二、四象限？

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)習(xí)一次函數(shù)的最重要方法是數(shù)形結(jié)合．結(jié)合圖象，將問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于k的不等式組。

變式五：k為何值時，一次函數(shù)y=(3-k)x-2k+18圖象平行于直線y=-x；

設(shè)計(jì)意圖：考查決定兩條直線位置關(guān)系的因素，這里只涉及簡單的情形：兩條直線平行等價于3-k =-1（即一般式中的k相等）。

變式六：直線y1=(3-k)x-2k+18與直線y2=2x+12交于點(diǎn)P(-1，a)．

(1)求k的值； (2)x為何值時, y1〉y2； (3)求直線y=(3-k)x-2k+18、直線y=2x+12與x軸圍成的三角形的面積。

設(shè)計(jì)意圖：（1）交點(diǎn)的意義：點(diǎn)P(-1，a)同時滿足y=(3-k)x-2k+18與直線=2x+12，從而求得a，k；（2）解決第二問時有多種方法：解不等式，數(shù)形結(jié)合；（3）第三問需要借助圖象明確所求的圖形，弄清點(diǎn)的坐標(biāo)與線段長的關(guān)系（這是學(xué)生的易錯點(diǎn)，補(bǔ)充強(qiáng)化練習(xí)：如果直線y=-2x+k與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積是9，求k的值）。

抓住數(shù)學(xué)習(xí)題中本質(zhì)的關(guān)系，巧妙變題，這樣能激發(fā)學(xué)生主動探索的欲望與能力。

（3）一題多圖

平面幾何中有許多問題，同一種敘述，能畫出不同的圖形，相應(yīng)的解法和結(jié)果往往也各不相同。如：在△ABC中，與∠A相鄰的外角是1100，要使△ABC是等腰三角形，則∠B=        

圖6：∠A、∠B是底角，

圖7：∠A是底角，∠B是頂角，

圖8：∠A是頂角，∠B是底角。

對于同一道題，符合題意的圖形有時不止一種，需要分類討論。在教學(xué)中要啟發(fā)學(xué)生盡可能地畫出符合題意的圖形，這樣可培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真審題，思維嚴(yán)謹(jǐn)?shù)牧?xí)慣。

(4) 一題多問

一題多問，就是相同條件，讓學(xué)生通過聯(lián)想，提出不同問題，以促進(jìn)思維的靈活性。如：如圖9，點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)共線，△ABC、

△CDE都是等邊三角形，連AD，BE.

求證：AD＝BE.

你還能找出其它的結(jié)論嗎？

學(xué)生1：BG=AH，學(xué)生2：EG=DH，學(xué)生3：CG=CH，學(xué)生4：等邊△CGH，學(xué)生5：GH∥BD……

在教學(xué)中，要學(xué)生盡可能多地提問，充分挖掘習(xí)題的潛力，培養(yǎng)學(xué)生的自主探索能力。   

（5）舉一反三

從特殊類推，解決一般性問題。如：已知Rt△ABC中，AC=BC，∠C=900，D為AB邊的中點(diǎn)，∠EDF=900，∠EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AC、CB（或它們的延長線）于E、F，當(dāng)∠EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DE⊥AC于E時（如圖10），易證，當(dāng)∠EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DE和AC不垂直時，在圖8和圖9這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，、、有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明。

結(jié)論：圖11成立；圖12不成立。、、的關(guān)系是：

分析：如圖13，過點(diǎn)D作DM⊥AC，DN⊥BC，

則∠DME=∠DNF=∠MDN=900

再證∠MDE=∠NDF，DM=DN，有△DME≌△DNF，

所以，即可得

.由已知可得 ，所以.

    對知識點(diǎn)的深切理解，就能觸類旁通。

培養(yǎng)發(fā)散性思維，必須把握一個“度”，要防止“胡思”、“瞎想”，通過多角度的變化，促使學(xué)生的思考由表及里，由淺入深，直至真正理解概念并訓(xùn)練學(xué)生的思維。

3、逆向思維的培養(yǎng)與訓(xùn)練

逆向思維是相對正向思維而言的。逆向思維的本質(zhì)特征是同事物常理相逆，它是創(chuàng)造性中最活躍的成分之一。

如：計(jì)算 

分析：由積的乘方公式，運(yùn)用積的乘方的逆運(yùn)算，可得

運(yùn)用逆向思維時，首先要明確問題求解的傳統(tǒng)思路，然后從這相對的反面去思考問題，以求得新的解決問題的方法。

4、橫向思維的培養(yǎng)與訓(xùn)練

橫向思維是指利用邏輯推理直上直下思考受阻時，大腦急轉(zhuǎn)彎所產(chǎn)生的一種思維方式。它是利用局外信息來發(fā)現(xiàn)解決問題的。歷史上就有曹沖稱象的故事。如：如圖14，一個棱長為4cm的立方體，分別在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一個棱長為1cm的小立方體，求表面積。

分析：本題解法不一，我們可以從一般解法和巧妙解法

兩個方面入手。

一般解法：按一般推理，先求出大立方體一個面的面積

4×4=16（cm2），再減去邊長為1cm的小正方形的面積得16-1=15（cm2），最后加上棱長為1cm的無蓋小立方體的表面積1×1×5=5（cm2），就求出大立方體的一個面的面積是15+5=20（cm2），即得所求的表面積為20×6=120（cm2）。

巧妙解法： 在大立方體的中心挖去一個棱長為1cm的小立方體時，大立方體沒有挖穿，所以小立方體底部的面積抵消了表面損失的1 cm2的面積，而且每挖一個小立方體只在原來大立方體六個面的基礎(chǔ)上增加四個側(cè)面，增加的面積是4 cm2。挖六個這樣的小立方體共增加面積：4×6＝24（cm2），再加上大立方體的表面積4×4×6=96（cm2），得到所求的表面積為24+96=120（cm2）。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，有的平面幾何圖形的面積計(jì)算，就可不按常規(guī)直接解決問題，而是轉(zhuǎn)換成側(cè)面問題來思考。

哲學(xué)家弗蘭西斯.培根指出“知識就是力量”， 創(chuàng)新離不開知識的支持，但只有具有創(chuàng)新能力，只有與能力、素質(zhì)相結(jié)合的知識才能適應(yīng)創(chuàng)新的時代。數(shù)學(xué)教師就要在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新思維能力，激活學(xué)生的創(chuàng)造潛能，最終使他們能達(dá)到靈活創(chuàng)造的境界。